Kuis: SUPER SUSAH
Akar persamaan (k+2)x²-(k+3)x+(k+1) = 0
adalah 6 kali akar yang lain, sehingga nilai
[tex]rm~k=frac{1}{p}~(q~pm~rsqrt{s})[/tex]

Tentukan hasil dari p + q + r + s = ……………..

Kuis: SUPER SUSAH
Akar persamaan (k+2)x²-(k+3)x+(k+1) = 0
adalah 6 kali akar yang lain, sehingga nilai
[tex]rm~k=frac{1}{p}~(q~pm~rsqrt{s})[/tex]

Tentukan hasil dari p + q + r + s = ……………..

Nilai [tex]p+q+r+s[/tex] adalah 79.

Pembahasan

Persamaan Kuadrat

Persoalan
Akar persamaan [tex](k+2)x^2-(k+3)x+(k+1) = 0[/tex] adalah 6 kali akar yang lain, sehingga
[tex]k=dfrac{1}{p}left(qpm rsqrt{s}right)[/tex]
Tentukan hasil dari [tex]p + q + r + s[/tex].

PENYELESAIAN

Ambil [tex]a=k+2[/tex], [tex]b=-(k+3)[/tex], dan [tex]c=k+1[/tex] dari persamaan kuadrat di atas.

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah [tex]alpha[/tex] dan [tex]beta[/tex], maka dapat kita pilih [tex]beta=6alpha[/tex], yang memenuhi:

[tex]begin{aligned}&bullet&!!!!alpha+beta&=-frac{b}{a}\&&7alpha&=frac{k+3}{k+2}\&therefore&alpha&=frac{k+3}{7(k+2)}quad…(i)\&bullet&alphabeta&=frac{c}{a}\&&6alpha^2&=frac{k+1}{k+2}\&therefore&alpha^2&=frac{k+1}{6(k+2)}quad…(ii)\end{aligned}[/tex]

Sehingga,

[tex]begin{aligned}&alpha^2=frac{k+1}{6(k+2)}\&(i)to,(ii)\&Rightarrow left(frac{k+3}{7(k+2)}right)^2=frac{k+1}{6(k+2)}\&Rightarrow frac{(k+3)^2}{49(k+2)^2}=frac{k+1}{6(k+2)}\&Rightarrow frac{(k+3)^2}{49(k+2)}=frac{k+1}{6}\&Rightarrow 6(k+3)^2=49(k+1)(k+2)\&Rightarrow 6k^2+36k+54=49k^2+147k+98\&Rightarrow 43k^2+111k+44=0end{aligned}[/tex]

Selanjutnya, kita serahkan pada rumus ABC untuk mencari nilai [tex]k[/tex].

[tex]begin{aligned}k&=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}\&=frac{1}{2a}left(-bpmsqrt{b^2-4ac}right)\end{aligned}[/tex]

Dari persamaan kuadrat [tex]43k^2+111k+44=0[/tex], jelas 111 tidak habis dibagi 2, sehingga dapat kita ambil [tex]p=2a=2cdot43=bf86[/tex], dan [tex]q=-b=bf{-}111[/tex].

Selanjutnya, bagian akar kuadrat dari diskriminan yang sama dengan [tex]rsqrt{s}[/tex].

[tex]begin{aligned}rsqrt{s}&=sqrt{b^2-4ac}\&{= }sqrt{111^2-4(43)(44)}\&{= }sqrt{3^2(37^2)-4(37+6)(37+7)}\&{= }sqrt{9(37^2)-4(37^2+13(37)+42)}\&{= }sqrt{5(37^2)-52(37)-168}\&{= }sqrt{(185-52)(37)-168}\&{= }sqrt{133(37)-168}\&{= }sqrt{7(19)(37)-7(24)}\&{= }sqrt{7(703-24)}\&{= }sqrt{7(679)}\&{= }sqrt{7(7)(97)}\rsqrt{s}&{= }7sqrt{97}end{aligned}[/tex]

Kita peroleh [tex]r=bf7[/tex], dan [tex]s=bf97[/tex].

Lengkapnya:

[tex]k=bfdfrac{1}{86}left(-111pm 7sqrt{97}right)[/tex]

Dengan demikian, nilai [tex]p+q+r+s[/tex] adalah:

[tex]begin{aligned}&86+(-111)+7+97\{= }&86-111+104=86-7\{= }&boxed{,bf79,}end{aligned}[/tex]

[tex]blacksquare[/tex]

 

Sekolah Menengah Atas

Matematika

 

Sumber: Brainly